- 周日 7月 27, 2025 4:42 pm
#9533
谈几何与拓扑：微分几何、代数几何、代数拓扑和微分拓扑
---节选自《数学：简单与高深：席南华通俗文章集》
by 席南华
微分几何
微积分作为一个强大的工具，用于研究几何是很自然的事情。在曲线和曲面上都有些性质是随着点的变化而变化的，比如弯曲程度，曲面上两个点之间最短的线（称为测地线）等。这些性质的研究需要微积分，也需要坐标，所以微分几何可以看作是坐标几何与微积分联姻的一个产物。
几何中描述弯曲程度的概念是曲率。直观上我们对弯曲程度都能很好地判断，但要形成一个数学概念就不是一件平凡的事情。我们可以寻找一些典型的几何对象，在那上面弯曲程度很容易理解并且还有可能通过数值度量。
圆周是一个典型的几何对象。在圆周上我们最容易理解弯曲的概念，圆周上每一点的弯曲程度都是一样的，半径越小的圆给人越弯曲的感觉。这样一来，圆的半径的倒数就可以用来度量圆的弯曲程度，称为圆周的曲率，更重要的是半径的倒数可以作为圆周上每一点的曲率。曲率的倒数就是圆的半径。
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圆的曲率：半径
直线的曲率无疑应该是0。0的倒数是无穷大，于是从曲率的角度看，把直线看作是半径为无穷大的圆是自然的。这在概念上印证了开普勒把直线看作半径为无穷大的圆是合理的。
对于一般的曲线的点，要考虑其弯曲程度，我们可以用曲线在这一点处的密切圆的弯曲程度来衡量，从而曲线在这一点处的曲率就是曲线在这一点处的密切圆的半径的倒数。在思想上，密切圆和切线是一样的，都是用一类简单的线在局部尽可能地逼近给定的曲线。
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曲线 在点 处的曲率 由下式给出：
其中 和 分别是 的一阶导数和二阶导数。
曲率在微分几何里面是一个极为重要的概念，但更本质的是度量。
用准确的数学语言描述曲线的弯曲程度不是一蹴而就的，而是经过了漫长的时间。早在远古，人们就知道直线没有弯曲，圆周上的点都有同样的弯曲程度。古希腊的亚里士多德、阿波罗尼奥斯、中世纪的尼克尔·奥里斯姆，都对这个问题有让人称道的研究。开普勒在研究一个亮点从圆周反射回来的像点时，想出了用圆周度量曲线上的点的弯曲程度。牛顿通过切圆定义曲线上的点的曲率。密切圆的概念由莱布尼茨引入并将其半径的倒数定义为曲线在一点处的曲率，这是现在采用的定义。
曲线曲率这个重要的数学概念形成的过程对思考如何把直观用准确的数学语言表述是很有启示作用的。
在微分几何最初的岁月里面，主要是用微积分解决一些曲线曲面的问题。有很多人做过贡献，包括牛顿、欧拉、蒙日等等。欧拉和蒙日的贡献尤其突出，蒙日还写过微分几何领域的第一本书。蒙日在很多方面都有突出的贡献。在拿破仑的时代，他为了解决一些军事上的需要讨论了最优传输。最优传输在过去几十年来有巨大的进展，维拉尼和费加利获菲尔兹奖的部分原因是他们在最优传输上的工作。
但是刚才所谈到的那些工作还是很自然的工作，在观念和思想上它们没有带来新的内容。如果只是这样做下去，微分几何也就是微积分在几何中的一个应用，其地位大概会是微积分的一个随从。
微分几何的发展到高斯这里出现了转折，从而成为独立的数学分支。
高斯对微分几何的研究源于他在大地测量和制图方面的工作。他在1816年起对这两方面都做了大量的工作，发表了许多文章。这些工作让他对地球上的形成了独到深刻的理解，激发了他对微分几何的兴趣，并在 1827 年完成了划时代的论文《关于弯曲面的一般研究》。在文中高斯不仅深入研究了三维空间中的曲面，更是通过曲面的参数方程的研究带来一个全新的观念：曲面自身就是一个空间，曲面的度量性质决定了曲面的几何，无需把曲面看作三维空间的一部分就可以对其进行研究。
1854 年黎曼在他的大学教师资格演讲中将高斯的观念和理论推广到高维空间，开创了微分几何中的一个核心分支——黎曼几何，它后来成为广义相对论的数学框架。高斯吝于赞人，但以罕见的热情赞扬了黎曼的大学教师资格演讲所呈现的深刻思想。
黎曼是数学界里面一个少有的天才，他不到 40 岁就去世了，发表的论文不多，仅三十余篇，但是他每一篇论文都对以后的数学有巨大的影响，黎曼几何以及黎曼猜想是两个典型的例子。
高斯在 1827 年他关于曲面的论文中，引入了高斯曲率，并证明它是曲面内在的一个性质，即不依赖曲面如何放置（高斯称之为绝妙定理 (theorema egregium))，比如一张纸可以平铺，也可以卷成半圆形的柱面，它们的高斯曲率都是 0。
高斯在那篇论文中，证明了一个关于曲率的著名定理：设 是曲面上由测地线围成的三角形，三个内角分别是 。那么高斯曲率 在这个三角形上的积分有如下公式，
其中 是曲面的面积微元。高斯认为它在数学最优美的定理之列。
这个定理更一般的形式就是著名的高斯-博内 (Gauss-Bonnet) 公式：对一般的闭曲面 ，高斯-博内公式是
其中 是 的亏格， 是 的欧拉示性数。
所以对高斯曲率做积分得到的值是一个拓扑不变量。陈省身对高斯-博内公式在高维的推广给了一个内蕴的证明，在微分几何发展进程中有巨大的影响。
高斯的工作表明曲面自身可以作为一个空间来研究，其上的几何完全由它的度量决定。以这种方式得到的几何一般都是非欧几何，其中的“直线”就是曲面上两点间长度最短的线（称为测地线）。
比如球面自身看作一个空间，那么“直线”就是那些大圆，从而球面上任何两条“直线”都交于两个点，比方说考虑下图球面中 这个大圆，它和大圆 交于 和 两个点。所以这里没有平行线。
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在普通的坐标空间里，如果赋予不同的度量，得到的也是非欧几何。现在我们发现要得到一个非欧几何变得轻而易举，这是空间观念有了突破了之后的结果。
微分几何在20世纪的主流是整体微分几何，与数学物理有非常密切的联系，埃利·嘉当、陈省身、丘成桐等人在其发展过程中都发挥了非常突出的作用。
代数几何
解析几何和射影几何引进坐标后都导致了对高次曲线和高次曲面的研究。人们关心几何图形有什么性质与坐标无关，这个问题与坐标变换密切相关，促成了代数不变量的研究。
考虑的变换很快就越出了线性的范围，并集中到了双有理变换（即变换是坐标的有理函数，逆变换也是如此），因为黎曼曾用双有理变换研究阿贝尔积分和阿贝尔函数。曲线的双有理变换的研究的最初主要几步是由黎曼的工作所引导的。
代数几何的一个中心问题就是分类代数簇（多项式方程组的零点集）。主要的目标是在双有理变换的意义下完成这个分类，在这个分类中，能通过双有理变换联系的代数簇看作一类。
一维情形就是代数曲线，19世纪就知道分类，有著名的黎曼-罗赫定理。
二维的情形就是代数曲面，意大利学派在1885-1935年间完成了分类，也有黎曼-罗赫定理。意大利学派深受黎曼的影响。因为黎曼的身体不太好，数次到意大利南方去休养，在意大利他与当地的数学家交流深刻地影响了意大利的数学。这又一次说明在大师身边对成长是无价的。阿贝尔给我们的忠告是向大师学习。
三维代数簇的分类直到20世纪80年代才完成双有理分类，主要由森重文完成，他也主要因此在1990年获得菲尔兹奖。森重文还提出了著名的极小模型纲领以研究高维代数簇的双有理分类，现在是非常活跃的研究方向。
代数几何有很多非常漂亮的结论，前面提到三维空间中的三次曲面上恰有27条直线是人们很喜欢的一个结论。
过去一百多年代数几何的发展非常迅速，现在已经成为一个庞大深刻又应用广泛的数学分支。在代数几何的发展中，韦伊猜想起了一个巨大的推动作用。
为了解决韦伊猜想，格罗滕迪克改写了代数几何的语言，给代数几何带来革命性的变化。最初，几何中的点是没有大小的，是现实点的抽象，后来的概念逐渐发生了变化，不再拘泥于现实点的抽象。在格罗滕迪克的语言下，代数几何的研究对象是概型（scheme），交换环的素理想集合是基本的空间，素理想成为空间的基本成分，是“点”的角色。在这里不仅技术上带来巨大的推进，尤为重要的是空间观念上带来深刻的变化。格罗滕迪克在观念层面给代数几何乃至整个数学带来的变化，在20世纪后半叶中间还没有看到其他的人可以相媲美。因此很多人愿意把格罗滕迪克看作是20世纪后半叶最杰出的数学家。当然不同的人有不同的观点，但他肯定在20世纪后半叶最为杰出的两三个数学家之中。
考虑分类时，分类对象全体常常有几何结构，这个几何结构就是模空间（moduli space）。初看这是很神奇的事情。其实我们在前面已经遇到了模空间：三维坐标空间中过原点的直线全体就是射影平面，从而射影平面中的点就是三维坐标空间中过原点的直线。也就是说三维坐标空间过原点的直线全体有非常自然的几何结构。
模空间的几何结构含有分类对象非常丰富的信息，而且模空间自身的几何也是特别有趣，过去几十年，模空间的研究还得益于与物理尤其是弦理论的交叉。
重要的模空间包括给定亏格的代数曲线形成的模空间及其德利涅-芒福德紧化。在复分析中非常重要的泰勒米希空间也是一类模空间，用于分类某些黎曼面。
代数拓扑和微分拓扑
早在17世纪，莱布尼茨就认为：“我相信我们缺乏另一种分析，它是真正几何的和线性的，直接表达位置，如同代数表达量一样。”从后来的发展看，莱布尼茨脑海里的那种分析也许就是后来的代数拓扑，不过到19世纪庞加莱才把它建立起来。
拓扑研究几何图形在连续变化下不变的一个性质，所谓连续变化就是要求一个点变到一个点（允许和原来的点相同），而且邻近的点变到邻近的点。
拓扑有很多的起源，就像数学大多数分支一样，先有很多的成果，后来才认识到它们归属于一个新的科目。大家熟知的凸多面体的欧拉公式（顶点数 - 棱数 + 面数 = 2），哥尼斯堡七桥问题，还有地图着色的四色问题等都是拓扑性质的，具有在连续变化下不变的性质。
克莱因的埃尔朗根纲领是为了用统一的观点来看几何，在那里已经显示了一种新的重要的几何研究的可能性。通过黎曼的工作，他意识到同胚这类变换的重要性。
恰当地提出拓扑研究的本质的第一人是默比乌斯（Möbius）。默比乌斯带和默比乌斯函数广为人知。我们一般见到的面（比如纸张）都是双面的，但默比乌斯带是单面的，不用穿越，就可以从一点走到这个面的任何其他点。艺术家对默比乌斯带也是有很大的兴趣。默比乌斯函数在数论中非常重要。
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默比乌斯带
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艺术家设计的默比乌斯带雕塑
对拓扑研究最大的推动力来自黎曼关于复变函数理论的工作。在这些工作中，他强调研究函数需要一些位置分析的定理。他对一类曲面（后称为黎曼面）引进了连通性的概念，并根据连通性对曲面做了分类，并且认识到他引进了一个拓扑性质。
庞加莱是代数拓扑的奠基人，著名的工作有庞加莱对偶定理，还有庞加莱猜想：单连通的三维闭流形与三维球面是同胚的。对这个猜想的研究推动了代数拓扑的发展，贡献了三个菲尔兹奖，分别是五维及更高维的庞加莱猜想的证明（斯梅尔，1966 年获奖），四维庞加莱猜想的证明（弗里德曼，1990 年获奖）和三维庞加莱猜想的证明（佩雷尔曼，2006 年获奖）。
佩雷尔曼富有个性，拒绝领取菲尔兹奖。庞加莱猜想是克雷数学研究所确定的七个千禧年问题之一，每个问题都有 100 万美元的奖金，佩雷尔曼也拒绝了属于他的 100 万美元奖金。这些荣誉是常人所追逐的，佩雷尔曼的拒绝免不了会让一些人感到难堪。
微分拓扑的一个起源是 20 世纪 50 年代米尔诺的七维怪球定理：七维球面的微分结构不止一种，实际上共有 28 种。他主要因为这项工作获得了菲尔兹奖。
20 世纪 80 年代数学家证明了我们生活的四维时空中很多种微分结构，多到数不清的地步，但其他维数的坐标空间的微分结构只有一种。这是一件让人感到吃惊的事情，表明我们生活的四维时空是非常独特的一个空间。说不定有平行宇宙，在那儿他们用的是另一种微分结构。
综述
在几何的发展史中，有重大影响的事件有欧几里得的《几何原本》；笛卡儿的解析几何，高斯关于曲面的研究和黎曼的进一步深化与推广；罗巴切夫斯基和波利亚建立的非欧几何；克莱因的埃尔朗根纲领；希尔伯特的《几何基础》；庞加莱建立的代数拓扑；格罗滕迪克建立的代数几何的概型语言。
这些工作都是革命性的，在思想上和观念上都带来深刻的变化，对学科的发展带来了巨大的影响。
几何的发展史说明了空间是很不简单的一个概念。从最初的认为几何是现实空间的抽象，符合我们的感觉和知觉，到后来经过理性的思维，对空间的认识不断在观念上发生变化，几何的面目已经变得纷杂，点、直线等基本的几何概念都和最初的直观认知与抽象差别巨大。
几何是一种结构，开始来自对现实空间的认知抽象，但我们知觉的局限注定了最初的几何只是现实空间的局部抽象。在感觉和知觉的基础上，经过漫长的理性思维，直到黎曼几何和爱因斯坦广义相对论的出现，我们才知道最初的几何并不能很好地描述我们现实的空间，现实空间远比欧几里得几何中的空间复杂。
当把几何理解为一种结构后，摆脱了几何是现实空间的抽象这个限制，几何的内涵就会变得异常丰富和阔大，很多的对象都出人意料地有非常好的几何结构，如一个坐标空间中过原点的直线全体，给定亏格的代数曲线全体等。
---节选自《数学：简单与高深：席南华通俗文章集》
by 席南华
微分几何
微积分作为一个强大的工具，用于研究几何是很自然的事情。在曲线和曲面上都有些性质是随着点的变化而变化的，比如弯曲程度，曲面上两个点之间最短的线（称为测地线）等。这些性质的研究需要微积分，也需要坐标，所以微分几何可以看作是坐标几何与微积分联姻的一个产物。
几何中描述弯曲程度的概念是曲率。直观上我们对弯曲程度都能很好地判断，但要形成一个数学概念就不是一件平凡的事情。我们可以寻找一些典型的几何对象，在那上面弯曲程度很容易理解并且还有可能通过数值度量。
圆周是一个典型的几何对象。在圆周上我们最容易理解弯曲的概念，圆周上每一点的弯曲程度都是一样的，半径越小的圆给人越弯曲的感觉。这样一来，圆的半径的倒数就可以用来度量圆的弯曲程度，称为圆周的曲率，更重要的是半径的倒数可以作为圆周上每一点的曲率。曲率的倒数就是圆的半径。
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圆的曲率：半径
直线的曲率无疑应该是0。0的倒数是无穷大，于是从曲率的角度看，把直线看作是半径为无穷大的圆是自然的。这在概念上印证了开普勒把直线看作半径为无穷大的圆是合理的。
对于一般的曲线的点，要考虑其弯曲程度，我们可以用曲线在这一点处的密切圆的弯曲程度来衡量，从而曲线在这一点处的曲率就是曲线在这一点处的密切圆的半径的倒数。在思想上，密切圆和切线是一样的，都是用一类简单的线在局部尽可能地逼近给定的曲线。
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曲线 在点 处的曲率 由下式给出：
其中 和 分别是 的一阶导数和二阶导数。
曲率在微分几何里面是一个极为重要的概念，但更本质的是度量。
用准确的数学语言描述曲线的弯曲程度不是一蹴而就的，而是经过了漫长的时间。早在远古，人们就知道直线没有弯曲，圆周上的点都有同样的弯曲程度。古希腊的亚里士多德、阿波罗尼奥斯、中世纪的尼克尔·奥里斯姆，都对这个问题有让人称道的研究。开普勒在研究一个亮点从圆周反射回来的像点时，想出了用圆周度量曲线上的点的弯曲程度。牛顿通过切圆定义曲线上的点的曲率。密切圆的概念由莱布尼茨引入并将其半径的倒数定义为曲线在一点处的曲率，这是现在采用的定义。
曲线曲率这个重要的数学概念形成的过程对思考如何把直观用准确的数学语言表述是很有启示作用的。
在微分几何最初的岁月里面，主要是用微积分解决一些曲线曲面的问题。有很多人做过贡献，包括牛顿、欧拉、蒙日等等。欧拉和蒙日的贡献尤其突出，蒙日还写过微分几何领域的第一本书。蒙日在很多方面都有突出的贡献。在拿破仑的时代，他为了解决一些军事上的需要讨论了最优传输。最优传输在过去几十年来有巨大的进展，维拉尼和费加利获菲尔兹奖的部分原因是他们在最优传输上的工作。
但是刚才所谈到的那些工作还是很自然的工作，在观念和思想上它们没有带来新的内容。如果只是这样做下去，微分几何也就是微积分在几何中的一个应用，其地位大概会是微积分的一个随从。
微分几何的发展到高斯这里出现了转折，从而成为独立的数学分支。
高斯对微分几何的研究源于他在大地测量和制图方面的工作。他在1816年起对这两方面都做了大量的工作，发表了许多文章。这些工作让他对地球上的形成了独到深刻的理解，激发了他对微分几何的兴趣，并在 1827 年完成了划时代的论文《关于弯曲面的一般研究》。在文中高斯不仅深入研究了三维空间中的曲面，更是通过曲面的参数方程的研究带来一个全新的观念：曲面自身就是一个空间，曲面的度量性质决定了曲面的几何，无需把曲面看作三维空间的一部分就可以对其进行研究。
1854 年黎曼在他的大学教师资格演讲中将高斯的观念和理论推广到高维空间，开创了微分几何中的一个核心分支——黎曼几何，它后来成为广义相对论的数学框架。高斯吝于赞人，但以罕见的热情赞扬了黎曼的大学教师资格演讲所呈现的深刻思想。
黎曼是数学界里面一个少有的天才，他不到 40 岁就去世了，发表的论文不多，仅三十余篇，但是他每一篇论文都对以后的数学有巨大的影响，黎曼几何以及黎曼猜想是两个典型的例子。
高斯在 1827 年他关于曲面的论文中，引入了高斯曲率，并证明它是曲面内在的一个性质，即不依赖曲面如何放置（高斯称之为绝妙定理 (theorema egregium))，比如一张纸可以平铺，也可以卷成半圆形的柱面，它们的高斯曲率都是 0。
高斯在那篇论文中，证明了一个关于曲率的著名定理：设 是曲面上由测地线围成的三角形，三个内角分别是 。那么高斯曲率 在这个三角形上的积分有如下公式，
其中 是曲面的面积微元。高斯认为它在数学最优美的定理之列。
这个定理更一般的形式就是著名的高斯-博内 (Gauss-Bonnet) 公式：对一般的闭曲面 ，高斯-博内公式是
其中 是 的亏格， 是 的欧拉示性数。
所以对高斯曲率做积分得到的值是一个拓扑不变量。陈省身对高斯-博内公式在高维的推广给了一个内蕴的证明，在微分几何发展进程中有巨大的影响。
高斯的工作表明曲面自身可以作为一个空间来研究，其上的几何完全由它的度量决定。以这种方式得到的几何一般都是非欧几何，其中的“直线”就是曲面上两点间长度最短的线（称为测地线）。
比如球面自身看作一个空间，那么“直线”就是那些大圆，从而球面上任何两条“直线”都交于两个点，比方说考虑下图球面中 这个大圆，它和大圆 交于 和 两个点。所以这里没有平行线。
Image
在普通的坐标空间里，如果赋予不同的度量，得到的也是非欧几何。现在我们发现要得到一个非欧几何变得轻而易举，这是空间观念有了突破了之后的结果。
微分几何在20世纪的主流是整体微分几何，与数学物理有非常密切的联系，埃利·嘉当、陈省身、丘成桐等人在其发展过程中都发挥了非常突出的作用。
代数几何
解析几何和射影几何引进坐标后都导致了对高次曲线和高次曲面的研究。人们关心几何图形有什么性质与坐标无关，这个问题与坐标变换密切相关，促成了代数不变量的研究。
考虑的变换很快就越出了线性的范围，并集中到了双有理变换（即变换是坐标的有理函数，逆变换也是如此），因为黎曼曾用双有理变换研究阿贝尔积分和阿贝尔函数。曲线的双有理变换的研究的最初主要几步是由黎曼的工作所引导的。
代数几何的一个中心问题就是分类代数簇（多项式方程组的零点集）。主要的目标是在双有理变换的意义下完成这个分类，在这个分类中，能通过双有理变换联系的代数簇看作一类。
一维情形就是代数曲线，19世纪就知道分类，有著名的黎曼-罗赫定理。
二维的情形就是代数曲面，意大利学派在1885-1935年间完成了分类，也有黎曼-罗赫定理。意大利学派深受黎曼的影响。因为黎曼的身体不太好，数次到意大利南方去休养，在意大利他与当地的数学家交流深刻地影响了意大利的数学。这又一次说明在大师身边对成长是无价的。阿贝尔给我们的忠告是向大师学习。
三维代数簇的分类直到20世纪80年代才完成双有理分类，主要由森重文完成，他也主要因此在1990年获得菲尔兹奖。森重文还提出了著名的极小模型纲领以研究高维代数簇的双有理分类，现在是非常活跃的研究方向。
代数几何有很多非常漂亮的结论，前面提到三维空间中的三次曲面上恰有27条直线是人们很喜欢的一个结论。
过去一百多年代数几何的发展非常迅速，现在已经成为一个庞大深刻又应用广泛的数学分支。在代数几何的发展中，韦伊猜想起了一个巨大的推动作用。
为了解决韦伊猜想，格罗滕迪克改写了代数几何的语言，给代数几何带来革命性的变化。最初，几何中的点是没有大小的，是现实点的抽象，后来的概念逐渐发生了变化，不再拘泥于现实点的抽象。在格罗滕迪克的语言下，代数几何的研究对象是概型（scheme），交换环的素理想集合是基本的空间，素理想成为空间的基本成分，是“点”的角色。在这里不仅技术上带来巨大的推进，尤为重要的是空间观念上带来深刻的变化。格罗滕迪克在观念层面给代数几何乃至整个数学带来的变化，在20世纪后半叶中间还没有看到其他的人可以相媲美。因此很多人愿意把格罗滕迪克看作是20世纪后半叶最杰出的数学家。当然不同的人有不同的观点，但他肯定在20世纪后半叶最为杰出的两三个数学家之中。
考虑分类时，分类对象全体常常有几何结构，这个几何结构就是模空间（moduli space）。初看这是很神奇的事情。其实我们在前面已经遇到了模空间：三维坐标空间中过原点的直线全体就是射影平面，从而射影平面中的点就是三维坐标空间中过原点的直线。也就是说三维坐标空间过原点的直线全体有非常自然的几何结构。
模空间的几何结构含有分类对象非常丰富的信息，而且模空间自身的几何也是特别有趣，过去几十年，模空间的研究还得益于与物理尤其是弦理论的交叉。
重要的模空间包括给定亏格的代数曲线形成的模空间及其德利涅-芒福德紧化。在复分析中非常重要的泰勒米希空间也是一类模空间，用于分类某些黎曼面。
代数拓扑和微分拓扑
早在17世纪，莱布尼茨就认为：“我相信我们缺乏另一种分析，它是真正几何的和线性的，直接表达位置，如同代数表达量一样。”从后来的发展看，莱布尼茨脑海里的那种分析也许就是后来的代数拓扑，不过到19世纪庞加莱才把它建立起来。
拓扑研究几何图形在连续变化下不变的一个性质，所谓连续变化就是要求一个点变到一个点（允许和原来的点相同），而且邻近的点变到邻近的点。
拓扑有很多的起源，就像数学大多数分支一样，先有很多的成果，后来才认识到它们归属于一个新的科目。大家熟知的凸多面体的欧拉公式（顶点数 - 棱数 + 面数 = 2），哥尼斯堡七桥问题，还有地图着色的四色问题等都是拓扑性质的，具有在连续变化下不变的性质。
克莱因的埃尔朗根纲领是为了用统一的观点来看几何，在那里已经显示了一种新的重要的几何研究的可能性。通过黎曼的工作，他意识到同胚这类变换的重要性。
恰当地提出拓扑研究的本质的第一人是默比乌斯（Möbius）。默比乌斯带和默比乌斯函数广为人知。我们一般见到的面（比如纸张）都是双面的，但默比乌斯带是单面的，不用穿越，就可以从一点走到这个面的任何其他点。艺术家对默比乌斯带也是有很大的兴趣。默比乌斯函数在数论中非常重要。
Image
默比乌斯带
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艺术家设计的默比乌斯带雕塑
对拓扑研究最大的推动力来自黎曼关于复变函数理论的工作。在这些工作中，他强调研究函数需要一些位置分析的定理。他对一类曲面（后称为黎曼面）引进了连通性的概念，并根据连通性对曲面做了分类，并且认识到他引进了一个拓扑性质。
庞加莱是代数拓扑的奠基人，著名的工作有庞加莱对偶定理，还有庞加莱猜想：单连通的三维闭流形与三维球面是同胚的。对这个猜想的研究推动了代数拓扑的发展，贡献了三个菲尔兹奖，分别是五维及更高维的庞加莱猜想的证明（斯梅尔，1966 年获奖），四维庞加莱猜想的证明（弗里德曼，1990 年获奖）和三维庞加莱猜想的证明（佩雷尔曼，2006 年获奖）。
佩雷尔曼富有个性，拒绝领取菲尔兹奖。庞加莱猜想是克雷数学研究所确定的七个千禧年问题之一，每个问题都有 100 万美元的奖金，佩雷尔曼也拒绝了属于他的 100 万美元奖金。这些荣誉是常人所追逐的，佩雷尔曼的拒绝免不了会让一些人感到难堪。
微分拓扑的一个起源是 20 世纪 50 年代米尔诺的七维怪球定理：七维球面的微分结构不止一种，实际上共有 28 种。他主要因为这项工作获得了菲尔兹奖。
20 世纪 80 年代数学家证明了我们生活的四维时空中很多种微分结构，多到数不清的地步，但其他维数的坐标空间的微分结构只有一种。这是一件让人感到吃惊的事情，表明我们生活的四维时空是非常独特的一个空间。说不定有平行宇宙，在那儿他们用的是另一种微分结构。
综述
在几何的发展史中，有重大影响的事件有欧几里得的《几何原本》；笛卡儿的解析几何，高斯关于曲面的研究和黎曼的进一步深化与推广；罗巴切夫斯基和波利亚建立的非欧几何；克莱因的埃尔朗根纲领；希尔伯特的《几何基础》；庞加莱建立的代数拓扑；格罗滕迪克建立的代数几何的概型语言。
这些工作都是革命性的，在思想上和观念上都带来深刻的变化，对学科的发展带来了巨大的影响。
几何的发展史说明了空间是很不简单的一个概念。从最初的认为几何是现实空间的抽象，符合我们的感觉和知觉，到后来经过理性的思维，对空间的认识不断在观念上发生变化，几何的面目已经变得纷杂，点、直线等基本的几何概念都和最初的直观认知与抽象差别巨大。
几何是一种结构，开始来自对现实空间的认知抽象，但我们知觉的局限注定了最初的几何只是现实空间的局部抽象。在感觉和知觉的基础上，经过漫长的理性思维，直到黎曼几何和爱因斯坦广义相对论的出现，我们才知道最初的几何并不能很好地描述我们现实的空间，现实空间远比欧几里得几何中的空间复杂。
当把几何理解为一种结构后，摆脱了几何是现实空间的抽象这个限制，几何的内涵就会变得异常丰富和阔大，很多的对象都出人意料地有非常好的几何结构，如一个坐标空间中过原点的直线全体，给定亏格的代数曲线全体等。
